Яков Григорьевич Синай родился 21 сентября 1935 года в Москве в семье ученых-микробиологов. Его дед Вениамин Каган был профессором Московского университета, первым руководитель кафедры дифференциальной геометрии.

В 1957 году Яков Синай окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук (1963).

В 1960-1971 годах работал научным сотрудником лаборатории статистических испытаний при кафедре теории вероятностей в МГУ.

С 1971 года — профессор МГУ, старший научный сотрудник Института теоретической физики имени Л.Д. Ландау Российской академии наук (РАН).

C декабря 1991 года — академик секции математики, механики, информатики (математика) РАН.

С 1993 года — профессор математики Принстонского университета США.

В 1997-1998 годах Яков Синай занимал почетную должность Thomas Jones Professor в Принстонском университете, а в 2005 году он получил почетную должность "выдающийся профессор" (distinguished professor) в Калифорнийском институте технологии в Пасадене (штат Калифорния, США).

Основные работы Синая лежат в области как математики, так и математической физики, особенно в тесном переплетении теории вероятностей, теории динамических систем, эргодической теории, и других математических проблем статистической физики. Большое значение имеют его работы по геодезическим потокам на поверхностях отрицательной кривизны. Многие достижения в области математики названы его именем, включая такие, как энтропия Колмогорова-Синая, биллиарды Синая, гипотеза случайного блуждания Синая, мера Синая-Боуэна-Рюэля и теория Пирогова-Синая.

Ученый опубликовал более 250 научных статей, а также нескольких книг. Он был научным руководителем более 50 аспирантов.

Яков Синай является лауреатом многих престижных российских и международных премий. Он был награжден Премией имени А.А. Маркова (1989), Премией Д. Хейнемана (1990), израильской премией Вольфа (1996), премией Ю. Мозера (2001), Премией Неммерса (2002), Премией Анри Пуанкаре (2009) и другими, а также медалями Л. Больцмана (1986) и П. Дирака (1993).

В 2013 году Синай получил Премию Лероя Стила Американского математического общества.

В марте 2014 года стало известно, что Академия наук Норвегии приняла решение присудить ему Абелевскую премию — самую престижную награду в области математики.

Синай избран членом или почетным членом многих математических обществ и академий — Американской академии искусств и наук (1983), Лондонского математического общества (1992), Академии наук Венгрии (1993), Национальной академии наук США (1999), Академии наук Бразилии (2000), Европейской академии (2008), Академии наук Польши (2009) и Лондонского Королевского общества (2009).

Яков Синай женат на Елене Вул, дочери известного советского физика Бенциона Вула, совместно с которой им написано несколько научных статей.