Александр Анкваб родился в Сухуми Абхазской АССР 26 декабря 1952 года.

В 1974 году окончил Ростовский государственный университет, Академию общественных наук при ЦК КПСС.

В 1975-1981 годах работал в Министерстве юстиции Абхазской АССР, в Абхазском обкоме комсомола, первым секретарем Гудаутского райкома комсомола, начальником Гудаутского районного отдела внутренних дел.

В 1981-1983 годах - инструктор отдела административных органов, заведующий сектором науки и экономического анализа отдела сельского хозяйства, заместитель заведующего отделом административных органов в ЦК Компартии Грузии в Тбилиси.

С 1984 по 1990 года Александр Анкваб руководил политаппаратом (на правах заместителя министра) МВД Грузинской ССР.

В 1991 году был избран депутатом Верховного Совета Абхазии.

В 1992-1993 годах занимал должность министра внутренних дел Республики Абхазия.

С 1994 по 2000 год Александр Анкваб жил в Москве, где занимался общественно-политической деятельностью, благотворительностью, бизнесом.

С 2000 года - один из организаторов и лидеров общественно-политического движения Абхазии "Айтаира" ("Возрождение").

С февраля 2005 по февраль 2010 - премьер-министр Республики Абхазия.

С 12 февраля 2010 - вице-президент Республики Абхазия.

23 сентября 2010 года из гранатомета был обстрелян дом вице-президента Абхазии Александра Анкваба. В результате покушения чиновник получил ранения. Это покушение на Анкваба - четвёртое по счёту. Два покушения на него были совершены в 2005 году и одно - в 2007-м. Тогда джип, в котором ехал Анкваб, был обстрелян из гранатомета под селом Лыхны Гудаутского района. Чиновник получил лёгкую контузию и несколько осколочных ранений в спину.

26 августа 2011 года Александр Анкваб, исполняющий обязанности президента после смерти Сергея Багапша (президент Абхазии Сергей Багапш, возглавлявший республику с 2005 года, скончался 29 мая на 63-м году жизни после сложной операции на легком), принял участие во внеочередных президентских выборах в Абхазии.

Александр Анкваб женат, имеет двух сыновей - Александра и Инала.