Борис Михайлович Сичкин родился 14 августа 1922 года в Киеве (Украина), в семье сапожника. Отец умер, когда мальчику было четыре года.

Танцам Бориса учил старший брат. В 1937-1941 годах Сичкин учился в Киевском хореографическом училище, одновременно танцевал в Ансамбле народного танца УССР.

Борис Сичкин был участником Великой Отечественной войны. В 1941-1946 годах работал во фронтовом ансамбле.

В 1947-1948 годах был солистом Ансамбля песни и пляски Советской Армии имени А.В. Александрова, в 1948-1966 годах - артистом Москонцерта.

В 1950-е годы артист много выступал с танцевальными номерами в сборных концертах.

С 1955 года работал в ансамбле литературной и театральной пародии "Синяя птичка" под руководством Виктора Драгунского, исполнял интермедии, был автором текстов, балетмейстером.

Участвовал в работе "закулисного" театра "Крошка" (ЦДРИ), джаз-оркестра Эдди Рознера.

Борис Сичкин был балетмейстером многих эстрадных номеров и программ, ставил танцы в ряде драматических спектаклей московских театров, в том числе "Свадебное путешествие" Владимира Дыховичного и Мориса Слободского (театр Сатиры), "Красные дьяволята" Павла Бляхина (театр имени Н.В. Гоголя), "Проснись и пой" Миклоша Дярфаша (театр Сатиры).

В 1960-х годах Борис Сичкин начал сниматься в кино. Широкую известность артисту принесла роль Бубы Касторского в фильмах "Неуловимые мстители" (1966) и "Новые приключения неуловимых" (1968). Снимался в фильмах "Интервенция" (1968), "На войне, как на войне" (1968), "Варвара краса - длинная коса" (1969), "Тропой бескорыстной любви" (1972), "Неисправимый лгун" (1973) и др.

В начале 1970-х годов на Бориса Сичкина было заведено уголовное дело - его обвинили в том, что он получал за свои концерты повышенные гонорары. В декабре 1973 года актер был арестован, а через год освобожден за отсутствием состава преступления. После этого возможности творческой деятельности для него были ограничены, на новые роли в кино его не утверждали.

В 1979 году Сичкин уехал в США, где продолжал выступать на эстраде и в варьете. Снимался в Голливуде, в фильмах "Последние дни" (The Final Days, 1989) и "Никсон" (Nixon, 1995) сыграл роль Брежнева.

В 1994 году впервые после эмиграции приехал в Россию. Снялся в нескольких российских фильмах ("Бедная Саша", 1997, "Марш Турецкого", 2000).

В Нью-Йорке Сичкин написал две книги: "Я из Одессы! Здрасьте!" (1996) и "Мы смеемся, чтобы не сойти с ума" (2001). Был членом редколлегии нью-йоркской газеты на русском языке "Русский Базар".

Борис Сичкин скончался 21 марта 2002 года в своей квартире в Нью-Йорке и был похоронен на нью-йоркском кладбище. По желанию его жены прах был извлечён из могилы и кремирован, а урна перевезена в Москву. 18 апреля 2008 года урна с прахом актера была помещена в колумбарий Ваганьковского кладбища.

Сичкин был женат на танцовщице Галине Рыбак, с которой они выступали дуэтом, их сын Емельян - композитор.